無題のブログ

[中学数学][規則性]

塾の中学生の生徒向けに問題を作ったから公開。規則性というよりかは文字の表し方かな。

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【問題】
かおりさんは，数学を使ったマジックについて調べていた。次の問いに答えなさい。
(1) かおりさんは，下のような【マジックⅠ】を見つけた。ただし、手順Ⅰ－１とは、【マジックⅠ】の手順の1番目という意味を表す。

【マジックⅠ】

≪相手が最後に思い浮かべた数字を当てるマジックの手順≫
手順Ⅰ－１：好きな数字を思い浮かべてもらう　
手順Ⅰ－２：その数字に１を足してもらう
手順Ⅰ－３：手順Ⅰ－２の計算結果に２をかけてもらう　
手順Ⅰ－４：手順Ⅰ－３の計算結果に６を足してもらう　
手順Ⅰ－５：手順Ⅰ－４の計算結果を２で割ってもらう
手順Ⅰ－６：手順Ⅰ－５の計算結果から、手順Ⅰ－１で思い浮かべた数字を引いてもらう

以上の手順Ⅰ－１からⅠ－２を行うと，手順Ⅰ－１でどんな数字を思い浮かべても必ず　ア　になる。よって，相手は必ず最後に   ア   を思い浮かべているので，まるで超能力で分かったかのように「あなたは   ア   を思い浮かべていますね」と言えば良い。

(a)　アにあてはまる数を書きなさい。
(b)　かおりさんは，手順Ⅰ－１から手順Ⅰ－６を行うとどうして必ずアになるのかが気になり，学校の先生に理由を聞いたところ，下のような【説明】を受けた。【説明】の　イ・　ウにあてはまる式を書きなさい。

【説明】

　手順Ⅰ－１で思い浮かべる数字をとする。手順Ⅰ－２を行うとになるから，手順Ⅰ－３を行うと　 イ　　になる。さらに手順Ⅰ－４と手順Ⅰ－５を行うと　  ウ　  になる。よって，最初にどんなを思い浮かべても，手順Ⅰ－６を行えば   ア   になる。

　(2)　かおりさんは，最初に思い浮かべた数を当てるマジックはできないか調べていたところ，下のような【マジックⅡ】を見つけた。【マジックⅡ】は，手順Ⅱ－１で思い浮かべた数にある数をかけることを利用したマジックである。ある数を求めなさい。

【マジックⅡ】

≪相手が最初に思い浮かべた数字を当てるマジックの手順≫
手順Ⅱ－１：好きな2桁の数字を思い浮かべてもらう
手順Ⅱ－２：その数字に５をかけてもらう
手順Ⅱ－３：手順Ⅱ－２の計算結果に4をかけてもらう
手順Ⅱ－４：手順Ⅱ－３の計算結果に５をかけてもらう
手順Ⅱ－５：手順Ⅱ－４の計算結果に、手順Ⅱ－１で思い浮かべた数を足す。

以上の手順Ⅱ－１からⅡ－５を行うと，手順Ⅱ－１で思い浮かべた数が2つ並んだような数を相手は思い浮かべている。よって，「最初に思い浮かべた数字が2つ並んでいますね」と言えば良い。

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解答は続きから。

[大学数学][解析学]ベルヌーイ多項式

ベルヌーイ多項式について大学のゼミ*1で触れていた。
ベルヌーイ多項式は色んな定義の仕方があるけれど、今回は以下の定義を使った。

　 $\displaystyle \frac{ze^{xz}}{e^z-1}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{B_n(x)}{n!}z^n$

テイラー展開を用いて係数比較することで $B_n(x)$ を求めることができる。
例えば $n=0,1,2,3,4,5$ のときは、

　 $B_0(x)=1$
　 $B_1(x)=x-\frac{1}{2}$
　 $B_2(x)=x^2-x+\frac{1}{6}$
　 $B_3(x)=x^3-\frac{3}{2}x^2+\frac{1}{2}x$
　 $B_4(x)=x^4-2x^3+x^2-\frac{1}{30}$
　 $B_5(x)=x^5-\frac{5}{2}x^4+\frac{5}{3}x^3-\frac{1}{6}x$