無題のブログ

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ベルヌーイ多項式を0から1で積分する。

[大学数学][解析学]ベルヌーイ多項式

ベルヌーイ多項式について大学のゼミ*1で触れていた。
ベルヌーイ多項式は色んな定義の仕方があるけれど、今回は以下の定義を使った。

 \displaystyle \frac{ze^{xz}}{e^z-1}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{B_n(x)}{n!}z^n

テイラー展開を用いて係数比較することでB_n(x)を求めることができる。
例えばn=0,1,2,3,4,5のときは、

 B_0(x)=1
 B_1(x)=x-\frac{1}{2}
 B_2(x)=x^2-x+\frac{1}{6}
 B_3(x)=x^3-\frac{3}{2}x^2+\frac{1}{2}x
 B_4(x)=x^4-2x^3+x^2-\frac{1}{30}
 B_5(x)=x^5-\frac{5}{2}x^4+\frac{5}{3}x^3-\frac{1}{6}x

これらを0から1の範囲でリーマン積分すると、面白い結果が。

 \displaystyle \int_{0}^{1}B_0(x)=1
 \displaystyle \int_{0}^{1}B_1(x)=\int_{0}^{1}B_2(x)=\cdots=\int_{0}^{1}B_5(x)=0

この結果から、次のことが予想できる。

 \displaystyle \int_{0}^{1}B_n(x)=0 (n\geqq1) 即ち、B_n(1)=B_n(0) (n\geqq1)

どうしてこんなことが言えるんだ不思議だなぁと思って暫く悩んでいたが、次の関係式が答えを明らかにした。

B_n(x+1)-B_n(x)=nx^{n-1} (n\geqq2)

なんだか右辺は微分の式みたい。示してみよう。


【証明】

 \displaystyle \frac{ze^{xz}}{e^z-1}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{B_n(x)}{n!}z^n

は、xx+1に置き換えると、

 \displaystyle \frac{ze^{(x+1)z}}{e^z-1}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{B_n(x+1)}{n!}z^n

となり、

 \displaystyle \begin{eqnarray} 
 (左辺) &=& \frac{ze^{xz}(e^z-1)+ze^{xz}}{e^z-1} \\
              && \\
              &=& ze^{xz}+\frac{ze^{xz}}{e^z-1} \\
              && \\
              &=& \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}z^{n+1} + \sum_{n=0}^{\infty} \frac{B_n(x)}{n!}z^n  \\
      \end{eqnarray}

と変形できるから、

 \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{B_n(x+1)}{n!}z^n =  \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}z^{n+1} + \sum_{n=0}^{\infty} \frac{B_n(x)}{n!}z^n

z^nの係数を比較して、

 \displaystyle \frac{B_n(x+1)}{n!} = \frac{B_n(x)}{n!} + \frac{x^{n-1}}{(n-1)!}

両辺にn!を掛けて、

  B_n(x+1)-B_n(x)=nx^{n-1}       \blacksquare


x=0とすれば、先ほど予想した、
 
 B_n(1)=B_n(0) (n\geqq2)

が示せる*2n=1のときは確認済みだから、以上より、

 B_n(1)=B_n(0) (n\geqq1)

が示せた。ベルヌーイ多項式素人の私からするとなんだか不思議な結果。

*1:ゼータ関数に関連する話題として取り上げていた。

*2:n=1のときはこの式では示せない。何故ならば、nx^{n-1}n=1を代入すると、結果がxの値に依らず1となってしまい不適。幸い、B_1(x)は分かっているから、直接示した方が無難かも。